1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = -1/12 - El Foro Libre
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  • indio errante
    Estoico
    • oct 2012
    • 1738

    1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = -1/12

    Le debia a Chanoc abrir este tema para ver lo de esta asombrosa conclusión...
    1 + 2 + 3 + 4 + 5 +... + "infinito" = -1/12


    revisemos nuevamente el video:



    La conclusion es asombrosa por 3 razones:

    1.- para empezar sabemos que la suma continua hasta el infinito de todos los números naturales deberia ser un numero muy grande, infinitamente grande.

    2.- Además de que deberia ser un numero muy grande y por lo tanto el resultado es no deberia ser una fraccion, osea menor a la unidad.



    3.- todos los números de la suma son enteros positivos, por lo que se esperaria que sea un numero muy grande y positivo y no negativo.
    Editado por última vez por indio errante; http://www.elforolibre.com/member/1020-indio-errante en 07/06/16, 11:00:38.
  • indio errante
    Estoico
    • oct 2012
    • 1738

    #2
    por donde empezar?...

    Comentario

    • indio errante
      Estoico
      • oct 2012
      • 1738

      #3
      Vayamos pues al mundo de las series...

      Las series como sabemos son una generalización de la la suma de una sucesión infinita de números.

      Básicamente y sin meternos en profundidad existen series convergentes (que son aquellas que tienden a un valor finito conforme las sumas parciales tienden a un valor finito), y las series divergentes (como aquellas donde las sumas parciales no tienden a un valor finito o permanecen oscilando entre valores sin llegar a un valor determinado.

      como sumas parciales de la serie se entiende lo siguiente:
      tómese las sumas parciales de la serie:

      1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+….+infinito

      cuyas sumas parciales son:

      (1/2)=1/2

      (1/2+1/4)= 3/4

      (1/2+1/4+1/8)=7/8

      (1/2+1/4+1/8+1/16)=15/16

      nótese que las sumas parciales van tendiendo a un valor finito, en este caso es =1, de hecho la suma de la serie es 1 cuando se suman todos los valores hasta el infinito.

      Mientras que en las series convergentes encontramos que su suma va acercándose a un valor finito en las series divergentes va incrementándose el valor de la suma a valores cada vez mas grandes hasta el infinito, no existiendo una suma como tal o suma es infinitamente grande.

      Esta característica de las series divergentes las hace paradójicas si se intenta manipularlas y se tienen que abordar con mucho cuidado y mediante análisis matemáticos rigurosos. Esto último ya lo habia advertido un matemático Niels Henrik Abel quien decía que las series divergentes eran una invención del demonio y cuya manipulación podría dar cualquier número que quisiéramos…

      "Las series divergentes son un invento del diablo, y es una vergüenza que se ose basar en ellas demostración alguna. Mediante su uso es posible extraer la conclusión que se desee y esa es la razón por la que estas series han sido el origen de tantas falacias y paradojas. Es que puede uno pensar en algo más descorazonador que decir que: 0 = 1 − 2n + 3n − 4n + etc.: donde n es un número positivo. Amigos, he aquí algo de lo que nos podemos reir." -N.H. Abel
      Por ejemplo la serie divergente y oscilante entre 1 y -1 siguiente:

      1-1+1-1+1-1+1-1+….+ infinito

      la cual se bien se podria reordenar como:

      (1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+….+ infinito = donde claramente se puede ver que la suma es cero

      pero también se puede ordenar como:
      1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)….+ infinito = donde la suma es 1

      ambos resultados no pueden ser equivalentes, llegándose a una contradicción al manipular estas sumas.


      continuará…...
      Editado por última vez por indio errante; http://www.elforolibre.com/member/1020-indio-errante en 08/06/16, 10:52:00.

      Comentario

      • soytupadre
        Le Zumba la Malanga
        • mar 2012
        • 7236

        #4
        Originalmente publicado por indio errante Ver Mensaje
        Vayamos pues al mundo de las series...

        Las series como sabemos son una generalización de la la suma de una sucesión infinita de números.

        Básicamente y sin meternos en profundidad existen series convergentes (que son aquellas que tienden a un valor finito conforme las sumas parciales tienden a un valor finito), y las series divergentes (como aquellas donde las sumas parciales no tienden a un valor finito o permanecen oscilando entre valores sin llegar a un valor determinado.

        como sumas parciales de la serie se entiende lo siguiente:
        tómese las sumas parciales de la serie:

        1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+….+infinito

        cuyas sumas parciales son:

        (1/2)=1/2

        (1/2+1/4)= 3/4

        (1/2+1/4+1/8)=7/8

        (1/2+1/4+1/8+1/16)=15/16

        nótese que las sumas parciales van tendiendo a un valor finito, en este caso es =1, de hecho la suma de la serie es 1 cuando se suman todos los valores hasta el infinito.

        Mientras que en las series convergentes encontramos que su suma va acercándose a un valor finito en las series divergentes va incrementándose el valor de la suma a valores cada vez mas grandes hasta el infinito, no existiendo una suma como tal o suma es infinitamente grande.

        Esta característica de las series divergentes las hace paradójicas si se intenta manipularlas y se tienen que abordar con mucho cuidado y mediante análisis matemáticos rigurosos. Esto último ya lo habia advertido un matemático Niels Henrik Abel quien decía que las series divergentes eran una invención del demonio y cuya manipulación podría dar cualquier número que quisiéramos…



        Por ejemplo la serie divergente y oscilante entre 1 y -1 siguiente:

        1-1+1-1+1-1+1-1+….+ infinito

        la cual se bien se podria reordenar como:

        (1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+….+ infinito = donde claramente se puede ver que la suma es cero

        pero también se puede ordenar como:
        1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)….+ infinito = donde la suma es 1

        ambos resultados no pueden ser equivalentes, llegándose a una contradicción al manipular estas sumas.


        continuará…...
        Originalmente publicado por indio errante Ver Mensaje
        Vayamos pues al mundo de las series...

        Las series como sabemos son una generalización de la la suma de una sucesión infinita de números.

        Básicamente y sin meternos en profundidad existen series convergentes (que son aquellas que tienden a un valor finito conforme las sumas parciales tienden a un valor finito), y las series divergentes (como aquellas donde las sumas parciales no tienden a un valor finito o permanecen oscilando entre valores sin llegar a un valor determinado.

        como sumas parciales de la serie se entiende lo siguiente:
        tómese las sumas parciales de la serie:

        1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+….+infinito

        cuyas sumas parciales son:

        (1/2)=1/2

        (1/2+1/4)= 3/4

        (1/2+1/4+1/8)=7/8

        (1/2+1/4+1/8+1/16)=15/16

        nótese que las sumas parciales van tendiendo a un valor finito, en este caso es =1, de hecho la suma de la serie es 1 cuando se suman todos los valores hasta el infinito.

        Mientras que en las series convergentes encontramos que su suma va acercándose a un valor finito en las series divergentes va incrementándose el valor de la suma a valores cada vez mas grandes hasta el infinito, no existiendo una suma como tal o suma es infinitamente grande.

        Esta característica de las series divergentes las hace paradójicas si se intenta manipularlas y se tienen que abordar con mucho cuidado y mediante análisis matemáticos rigurosos. Esto último ya lo habia advertido un matemático Niels Henrik Abel quien decía que las series divergentes eran una invención del demonio y cuya manipulación podría dar cualquier número que quisiéramos…



        Por ejemplo la serie divergente y oscilante entre 1 y -1 siguiente:

        1-1+1-1+1-1+1-1+….+ infinito

        la cual se bien se podria reordenar como:

        (1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+….+ infinito = donde claramente se puede ver que la suma es cero

        pero también se puede ordenar como:
        1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)….+ infinito = donde la suma es 1

        ambos resultados no pueden ser equivalentes, llegándose a una contradicción al manipular estas sumas.


        continuará…...
        Esto se ve muy técnico ¿En que tipo de cosas se pueden ocupar estas series?, por que han de tener aplicación practica.

        Saludos Indio.

        Atte. Tu Padre


        Toda su frustración, todo su rencor y todo su dolor es que la comunidad me reconozca un cierto liderazgo, que no requiere de botoncitos:
        El Jacobeto

        Comentario


        • indio errante
          indio errante comentó
          Editar un comentario
          Saludos STP

          Voy a tratar de que no sea tan técnico, pero ni es tanto eh, es como regresarnos a la secu o prepa... :P

          En cuanto a su uso, huy pues son muy útiles e importantes para muchos cálculos en ingenieria y en general la ciencias. Sobre todo cuando quieres obtener integrales o derivadas de funciones complicadas. Casi cualquier funcion se puede representar por medio de una serie de Taylor por ejemplo, y de ahi integrar o derivar término a término de manera mas sencilla.
          Métodos númericos por ejemplo usan estas series para hacer sus cálculos en las computadoras o calculadoras.
      • Vincent
        SACABORRACHOS
        • dic 2015
        • 2920

        #5
        :::::



        Me disculpas, Indio Errante, pero lo expuesto en el video es una patraña.

        Si nos atenemos a tu propuesta de la SUMA de números naturales, el resultado será siempre un número positivo (por las leyes de los números naturales) o, en el último caso, el infinito positivo como límite.

        Además, la suma siempre es mayor que cualquiera de sus partes, por definición canónica de "suma".

        La trampa de los gringos marihuanos del video consiste en "agrupar" o "factorizar" utilizando en la definición de sumandos el signo "-" (menos), que por prestidigitación y malabares diversos termina alterando el resultado lógico que sería "+ infinito".

        Además, esos viciosos sustentan su farsa en los elementos de la teoría de cuerdas, que está llena de abrojos hamiltonianos, boltzianos y otras yerbas.

        Seamos serios, diría Brozo.




        Saludos.








        .
        .











        .

        Comentario


        • indio errante
          indio errante comentó
          Editar un comentario
          Saludos Vincent!
          No hay de que disculparse, que bueno que está agarrando polémica este tema en principio algo técnico, pero que nos mueve el aspecto de la lógica o lo que sabemos de las matemáticas.
          bueno, deja aclarar que la intención era ir por las "piedritas" dar un poco el origen de lo que ha hecho históricamente y a donde nos llevará ese resultado que a primera instancia va en contra de toda lógica e intuición matemática, tal como ya lo has observado y que en internet fue viral y sigue causando controversia.
          siéntete en confianza de participar. En los siguientes posts quizás se aclare un poco mas las dudas, o se amplien :P
          saludos
      • MangoMartini
        Expulsado de elforolibre
        • may 2016
        • 579

        #6
        Originalmente publicado por Vincent Vega Ver Mensaje
        :::::

        Me disculpas, Indio Errante, pero lo expuesto en el video es una patraña.

        Si nos atenemos a tu propuesta de la SUMA de números naturales, el resultado será siempre un número positivo (por las leyes de los números naturales) o, en el último caso, el infinito positivo como límite.

        Además, la suma siempre es mayor que cualquiera de sus partes, por definición canónica de "suma".

        La trampa de los gringos marihuanos del video consiste en "agrupar" o "factorizar" utilizando en la definición de sumandos el signo "-" (menos), que por prestidigitación y malabares diversos termina alterando el resultado lógico que sería "+ infinito".

        Además, esos viciosos sustentan su farsa en los elementos de la teoría de cuerdas, que está llena de abrojos hamiltonianos, boltzianos y otras yerbas.

        Seamos serios, diría Brozo.


        Saludos.

        .
        A mí me suenan más a británicos. Británicos que necesitan menos números, y más pasta dental.

        Saludos.
        Editado por última vez por MangoMartini; http://www.elforolibre.com/member/24613-mangomartini en 08/06/16, 13:45:11.

        Comentario


        • indio errante
          indio errante comentó
          Editar un comentario
          Saludos MangoMartini
          Bienvenido al tema :)
      • indio errante
        Estoico
        • oct 2012
        • 1738

        #7
        Continuando con la serie divergente...






        Ah no esa no verdad? :P

        Comentario

        • indio errante
          Estoico
          • oct 2012
          • 1738

          #8
          Y bueno, todo se hubiera aclarado desde el segundo post con lo dicho por Abel, de que "con las series divergentes se puede llegar a cualquier resultado".

          De no ser porque otros matemáticos con anterioridad también llegaron al mismo resultado. Por nombrar solo a dos famosos como Euler y Ramanujan. (pero hay mas)

          En un manuscrito del matemático Ramanujan aparece la suma

          1+2+3+4+5+… =-1/12





          Srinivasa Ramanujan fue un genio matemático autodidacta que murió muy joven (32 años), fue apoyado por otro matemático famoso británico H.G. Hardy y darlo a conocer en la comunidad matemática.

          De hecho este resultado se lo mencionó a Hardy en una carta:

          "Dear Sir, I am very much gratified on perusing your letter of the 8th February 1913. I was expecting a reply from you similar to the one which a Mathematics Professor at London wrote asking me to study carefully Bromwich's Infinite Series and not fall into the pitfalls of divergent series. … I told him that the sum of an infinite number of terms of the series: 1 + 2 + 3 + 4 + · · · = −1/12 under my theory. If I tell you this you will at once point out to me the lunatic asylum as my goal. I dilate on this simply to convince you that you will not be able to follow my methods of proof if I indicate the lines on which I proceed in a single letter. …"[13]
          Por cierto recientemente se hizo una pelicula sobre Ramanujan llamada "El hombre que conoció el infinito"


          Editado por última vez por indio errante; http://www.elforolibre.com/member/1020-indio-errante en 08/06/16, 15:45:20.

          Comentario

          • indio errante
            Estoico
            • oct 2012
            • 1738

            #9
            La segunda suma del video donde:

            S2= 1-2+3-4+5-6+... = 1/4


            Euler llegó a la misma suma aunque al principio no lo creia:


            …parece una paradoja decir que la suma de la serie 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 etc. arroja el valor 1/4. Ya que cuando sumamos los primeros 100 términos de la serie se obtiene el valor –50, mientras que la suma de los primeros 101 términos arroja el valor +51, lo cual es muy distinto de 1/4 y la suma es cada vez mayor a medida que aumenta el número de términos que se suman. Por ello es que desde hace algún tiempo he llegado a la conclusión, que es necesario darle a la palabra suma un significado más amplio…
            Euler et al p.2

            …ya no queda ninguna duda que la suma de la serie 1 − 2 + 3 − 4 + 5 - 6 etc. es 1/4; dado que se origina en el desarrollo de la fórmula 1(1+1)2, cuyo valor es indudablemente 1/4. Es posible aclarar el concepto si se considera la serie general 1 − 2x + 3x2 − 4x3 + 5x4 − 6x5 + &c. que se obtiene al desarrollar la expresión 1(1+x)2, que es igual a la serie si se asigna x = 1."
            Euler et al pp.3, 25.


            ¿a que se referia Euler con darle a la palabra suma un significado mas amplio?

            Comentario

            • indio errante
              Estoico
              • oct 2012
              • 1738

              #10
              Bien, ¿entonces a que se refería Euler con un nueva forma de llamarle a la suma?¿especificamente se refería a las series divergentes que era donde se estaban dando estos resultados ?

              Quizas esto se mas claro si vemos un ejemplo más sencillo y que otro matemático italiano Ernesto Cesareo usó para sumar una serie divergente.

              Regresaremos a la serie divergente:

              S1 = 1-1+1-1+1-1+… infinito esta serie se conoce como serie de Grandi

              lo que hace a continuación Cesareo es que toma las sumas parciales de la serie :

              suma parcial del primer término: 1
              suma parcial con el segundo término = 1-1 =0
              suma parcial con el tercer término = 1-1+1= 1
              suma parcial con el cuarto término = 1-1+1-1=0
              suma parcial con el quinto término = 1-1+1-1+1=1
              suma parcial con el quinto término = 1-1+1-1+1-1=0

              Y toma a todas las sumas parciales y lo divide entre el numero de términos usados o sumas parciales. Dando:

              s1= (1+0+1+0+1+0)/6 = 3/6 = 1/2 Que es el resultado que nos ponen en el video para esta suma.



              esta forma de “sumar” se le conoce como sumacion de Cesareo o Cesareo Summation.
              https://en.wikipedia.org/wiki/Ces%C3%A0ro_summation

              Se puede fácilmente ver que esta sumación lo que hace es sacar un valor promedio de las sumas de las sumas parciales. O al menos asi se ve para este caso en particular donde la sumas parciales oscilan entre 1 y 0 una infinidad de veces.

              Entonces lo que hace es obtener un valor de una serie divergente. Y la “sumacion” no es lo que conocemos como una suma normal si no un método de sumación para obtener un valor de una serie divergente.
              Se puede entender que ese valor promedio puede ser útil como valor resultante si lo que estamos obteniendo es un promedio de algo que está oscilando. Al menos para este ejemplo de esta serie que oscila asi se entiende, otras series pueden dar otros valores que no necesariamente sean un promedio.

              Graficando en WolframAlpha se puede ver la oscilacion de sumas parciales :
              Haga clic en la imagen para ver una versión más grande

Nombre:	wolfram 12.jpg
Visitas:	1
Size:	23,0 KB
ID:	8935



              http://www.wolframalpha.com/input/?i...+1+to+infinity
              Editado por última vez por indio errante; http://www.elforolibre.com/member/1020-indio-errante en 08/06/16, 18:15:07.

              Comentario

              • indio errante
                Estoico
                • oct 2012
                • 1738

                #11
                Entonces, la "suma" no era una suma normal como la conocemos si no una sumación o summation que es algo asi como una normalizacion o regularización de una en una serie divergente para obtener un valor representativo finito en lugar de algo infinito.

                Por lo que seria recomendable en esos casos cambiar el signo = por otro donde signifique que es una sumación.

                De hecho en la sumación de Rmanujan al final del resultado viene una especie de R entre parentesis indicando que es una sumation de Ramanujan



                Comentario

                • indio errante
                  Estoico
                  • oct 2012
                  • 1738

                  #12
                  Llegamos a la mitad del camino, donde vemos que la "suma" en estas sumaciones no significa IGUAL A =
                  La otra mitad es interpretar el porque surge un valor finito de una suma infinita, que significado tiene y porque es útil en muchas aplicaciones de la ciencia, tomadas como un valor de esas sumas infinitas...

                  Comentario

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